【題目】已知橢圓 的離心率為 ,且它的一個焦點 的坐標為 .
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設過焦點 的直線與橢圓相交于 兩點, 是橢圓上不同于 的動點,試求 的面積的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)設橢圓的半焦距為 ,則 .又由 ,可解得 ,
所以 ,
所以,橢圓的標準方程為
(Ⅱ)設過焦點 的直線為
①若 的斜率不存在,則 ,即
顯然當 在短軸頂點 時, 的面積最大,
此時, 的最大面積為 .
②若 的斜率存在,不妨設為 ,則 的方程為

聯(lián)立方程: 消去 整理得:
所以
因為,當直線與 平行且與橢圓相切時,此時切點 到直線 的距離最大,
設切線 ,
聯(lián)立 消去y 整理得: ,
,解得:
又點 到直線 的距離 ,
所以 ,
所以 .
代入得
,設函數(shù) ,則
因為當 時, ,當 時, ,
所以 上是增函數(shù),在 上是減函數(shù),所以
時, 面積最大值是 .顯然 ,
所以,當 的方程為 時, 的面積最大,最大值為
【解析】(1)由條件得到關于a,b,c的方程組求解.
(2)分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論,設出直線的方程,代入橢圓方程消去y得關于x的一元二次方程,結合 韋達定理和弦長公式求出弦長,再求出與直線平行的切線方程,由切點到直線的距離不是三角形的高,將三角形的面積表示為m的函數(shù)式,先換元,再用導數(shù)求出函數(shù)的最值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

練習冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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