【題目】如圖,矩形ABCD所在的平面和平面互相垂直,等腰梯形中, , , , , 分別為的中點, 為底面的重心.
(Ⅰ)求證: ∥平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)重心定義,可得連結延長交于,則為的中點,根據(jù)三角形中位線性質得∥,再由線面平行判定定理得∥平面,同理可得∥平面,因此平面∥平面,即得∥平面;(2)利用面面垂直性質定理尋找線面垂直:作AQ⊥EF,則得AQ⊥平面ABCD,作AH⊥DQ,可得AH⊥面EQDC,因此直線與平面所成角為∠ACH,解直角三角形得直線AC與平面CEF所成角正弦值
試題解析:(Ⅰ)連結延長交于,則為的中點,又為的中點,
∴∥,又∵平面,∴∥平面
連結,則∥, 平面,∴∥平面
∴平面∥平面, 平面
平面
(Ⅱ)作AQ⊥EF交EF延長線于Q,作AH⊥DQ交DQ于H,則AH⊥面EQDC
∴∠ACH就是直線AC與平面CEF所成角
在RtADQ中,AH=
在RtACH中,sin∠ACH=
直線AC與平面CEF所成角正弦值為
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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長為2.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線與橢圓交于兩點, 為坐標原點,若,求原點到直線的距離的取值范圍.
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【題目】某同學在生物研究性學習中,對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關系進行研究,于是他在4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,求這2天發(fā)芽的種子數(shù)均不小于25的概率;
(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù),求出關于的線性回歸方程;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為, .
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【題目】兩圓x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三條公切線,若a∈R,b∈R,且ab≠0,則 的最小值為( )
A.
B.
C.1
D.3
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【題目】給出下列命題:
①直線l的方向向量為 =(1,﹣1,2),直線m的方向向量 =(2,1,﹣ ),則l與m垂直;
②直線l的方向向量 =(0,1,﹣1),平面α的法向量 =(1,﹣1,﹣1),則l⊥α;
③平面α、β的法向量分別為 =(0,1,3), =(1,0,2),則α∥β;
④平面α經過三點A(1,0,﹣1),B(0,1,0),C(﹣1,2,0),向量 =(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=1.
其中真命題的是 . (把你認為正確命題的序號都填上)
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【題目】已知點A(﹣4,4)、B(4,4),直線AM與BM相交于點M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2,點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C 的軌跡方程;
(2)Q為直線y=﹣1上的動點,過Q做曲線C的切線,切點分別為D、E,求△QDE的面積S的最小值.
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【題目】已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、M、N分別是BC、AE、D1C的中點,AD=AA1 , AB=2AD
(Ⅰ)證明:MN∥平面ADD1A1
(Ⅱ)求直線AD與平面DMN所成角的余弦值.
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【題目】如圖,已知, 分別是中點,弧的半徑分別為,點平分弧,過點作弧的切線分別交于點.四邊形為矩形,其中點在線段上,點在弧上,延長與交于點.設,矩形的面積為.
(1)求的解析式并求其定義域;
(2)求的最大值.
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【題目】設定義在[﹣2,2]上的函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減,且f(1﹣m)<f(3m).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,2]上是奇函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,2]上是偶函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.
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