Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）求DB與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

解：以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．
設(shè)AD=a，則D（0，0，0），
A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），
E（a，，0），P（0，0，a），F(xiàn)（，，）．
（1）證明：∵=（-，0，）•（0，a，0）=0，
∴⊥，∴EF⊥CD．
（2）設(shè)平面DEF的法向量為=（x，y，z），
由，得即，
取x=1，則y=-2，z=1，
∴=（1，-2，1），
∴cos＜，＞═=-．
設(shè)DB與平面DEF所成角為θ，則sinθ=．
分析：以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F(xiàn)，坐標(biāo)
（1）通過=0，證明EF⊥CD．
（2）設(shè)平面DEF的法向量為=（x，y，z），由，推出=（1，-2，1），
利用cos＜，＞═=-．設(shè)DB與平面DEF所成角為θ，求出sinθ=．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，證明直線與直線的垂直，直線與平面所成的角，考查計算能力．