已知橢圓 經過點其離心率為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設直線與橢圓相交于A、B兩點,以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點P在橢圓上,為坐標原點.求的取值范圍.

 

【答案】

(1) (2) (3)

【解析】

試題分析:解:(Ⅰ)由已知可得,所以3a2=4b2①(1分)

又點在橢圓C上,

所以②(2分)

由①②解之,得a2=4,b2=3.

故橢圓C的方程為.(5分)

(Ⅱ)當k=0時,P(0,2m)在橢圓C上,解得,

所以.(6分)

當k≠0時,則由

消y化簡整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,

△=64k2m2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)=48(3+4k2﹣m2)>0③(8分)

設A,B,P點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0),

.(9分)

由于點P在橢圓C上,所以.(10分)

從而,化簡得4m2=3+4k2,經檢驗滿足③式.(11分)

=

=.(12分)

因為,得3<4k2+3≤4,有,

.(13分)

綜上,所求|OP|的取值范圍是.(14分)

考點:直線與圓錐曲線的綜合問題

點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的標準方程問題.當研究橢圓和直線的關系的問題時,?衫寐(lián)立方程,進而利用韋達定理來解決

 

練習冊系列答案
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已知橢圓 經過點其離心率為
(1)求橢圓的方程
(2)設直線與橢圓相交于AB兩點,以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點P在橢圓上,為坐標原點. 求到直線的距離的最小值.

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   已知橢圓 經過點其離心率為

   (1)求橢圓的方程

(2)設直線與橢圓相交于A、B兩點,以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點P在橢圓上,為坐標原點. 求到直線的距離的最小值.

 

 

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已知橢圓 經過點其離心率為.

   (Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設直線與橢圓相交于A、B兩點,以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點P在橢圓上,為坐標原點.求的取值范圍.

 

 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓 經過點其離心率為.

   (Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設直線與橢圓相交于A、B兩點,以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點P在橢圓上,為坐標原點.求的取值范圍.

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