Question

（本小題滿分14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，

使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）．

（1）當時，求證：BD⊥EG ；

（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（3）當取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．

                                                                                 

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）時有最大值為．（3）二面角的余弦值為－．

【解析】本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，直線與平面垂直的性質，其中（1）的關鍵是建立坐標系，將線線垂直轉化為向量數量積為0，（2）的關鍵是利用等體積法將三棱錐BCDF的體積，轉化為四棱錐ABCF的體積，（3）的關鍵是求出平面BDF和平面BCF的法向量，將二面角問題轉化為向量的夾角．

（1）由AEFD⊥平面EBCF，EF∥BC∥AD，可得AE⊥EF，進而由面面垂直的性質定理得到AE⊥平面EBCF，進而建立空間坐標系E-xyz，求出BD，EG的方向向量，根據兩個向量的數量積為0，即可證得BD⊥EG；

（2）根據等體積法，我們可得f（x）=V_D-BCF=V_A-BFC的解析式，根據二次函數的性質，易求出f（x）有最大值；

（3）根據（2）的結論，我們求出平面BDF和平面BCF的法向量，代入向量夾角公式即可得到二面角D-BF-C的余弦值．

（1）∵平面平面，

AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標系E-xyz．

，又為BC的中點，BC=4，

．則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

（－2，2，2），（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴．………………4分

（2）∵AD∥面BFC，所以

=V_A-BFC＝，

即時有最大值為．

（3）設平面DBF的法向量為，∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0），∴（－2，2，2），

則 ，即，

取，∴

，面BCF一個法向量為，則cos<>=，

由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為－．