Question

建造一個容積為8m³，深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為120元/m²和80元/m²
（1）求總造價關(guān)于底面一邊長的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域；
（2）求總造價的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)底邊一邊長為xm，總造價為y元，則
由題意，知底面面積為4m²，則底面另一邊長為m，
∴，x∈（0，+∞）
（2）當(dāng)0＜x＜2時，是單調(diào)遞減的函數(shù)，證明如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，則
=
∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
故當(dāng)0＜x＜2時，是單調(diào)遞減的函數(shù)
同理可證明當(dāng)x＞2時，是單調(diào)遞增的函數(shù)
∴當(dāng)x=2時，在（0，+∞）上取到最小值，
最小值為元
答：（1）總造價y元關(guān)于底面一邊長xm的函數(shù)解析式為，此時此函數(shù)的定義域為（0，+∞）（2）總造價的最小值為1760元．
分析：（1）先設(shè)底邊一邊長為xm，總造價為y元，由題意，知底面面積為4m²，則底面另一邊長為m，從而即可求得總造價關(guān)于底面一邊長的函數(shù)解析式．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的最小值，分類討論：當(dāng)0＜x＜2時，利用單調(diào)性的定義證明它是單調(diào)遞減的函數(shù)，再證明當(dāng)x＞2時，是單調(diào)遞增的函數(shù)，從而得出函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值即可．
點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．