Question

設(shè)a是實(shí)數(shù)，f（x）=a-

2

2x+1

．
（1）試確定a的值，使f（-x）+f（x）=0成立．
（2）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，f（x）均為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（-x）+f（x）=0，f（x）=a-

2

2x+1

，代入可構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得a值，也可由f（-x）+f（x）=0得到f（x）為奇函數(shù)，再由f（0）=0求出a的值
（2）R任取兩個(gè)值x₁，x₂（x₁＜x₂），結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域?yàn)椋?，+∞），判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．

解答：解：（1）由題知，f（-x）+f（x）=2a-

2

2x+1

-

2

2-x+1

=0，
則有a=

1

2x+1

+

1

2-x+1

=

2x+2-x+2

2x+2-x+2

=1，
故a的值為1．          …（8分）
（或先說明f（x）為奇函數(shù)，再由f（0）=0求出a的值．）
證明：（2）由題知x∈R，在R任取兩個(gè)值x₁，x₂（x₁＜x₂），則
f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

由x₁＜x₂且y=2^x為R上的增函數(shù)得2x1-2x2＜0，2x1+1＜0，2x2+1＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故不論a為何實(shí)數(shù)，f（x）均為增函數(shù)．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，熟練掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義是解答的關(guān)鍵．