Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)C和橢圓有公共的焦點(diǎn)，且離心率為．

（1）求雙曲線(xiàn)C的方程．

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1）作直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程并求弦長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）x21 （2）y＝4x﹣7，弦長(zhǎng)

【解析】

（1）求出雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合離心率，聯(lián)立求解a,b,c得到雙曲線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程，用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)斜率，弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)即可.

（1）由題意得橢圓的焦點(diǎn)為F1（，0），F2（，0），

設(shè)雙曲線(xiàn)方程為1，a＞0，b＞0，

則c2＝a2+b2＝3，

∵e

∴ca，

解得a2＝1，b2＝2，

∴雙曲線(xiàn)方程為x21．

（2）把A（x1，y1），B（x2，y2）分別代入雙曲線(xiàn)x12y12＝1，x22y22＝1，

兩式相減，得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，

把x1+x2＝4，y1+y2＝2代入，得4（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，

∴kAB4，

∴直線(xiàn)L的方程為y＝4x﹣7，

把y＝4x﹣7代入x21，

消去y得14x2﹣56x+51＝0，

∴x1+x2＝4，x1x2＝ ，k＝4，

∴|AB|．