Question

數(shù)列，（）由下列條件確定：①；②當(dāng)時(shí)，與滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，,；當(dāng)時(shí)，，.

（Ⅰ）若，，求，，，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式（不需要證明）；

（Ⅱ）在數(shù)列中，若(,且)，試用表示，；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，， (其中為給定的不小于2的整數(shù))，求證：當(dāng)時(shí)，恒有.

Answer 1

（Ⅰ）解：因?yàn)?sub>，所以,.     ……1分

因?yàn)?sub>,則,.     ………………2分

.      ……………………………………………………3分

猜想當(dāng)時(shí)，.   

則   …………………………………………………………4分

（Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)，假設(shè)，根據(jù)已知條件則有，

與矛盾，因此不成立，    ……………………5分

所以有，從而有，所以.    ……………………6分

當(dāng)時(shí)，，,

所以;       …………………………8分

當(dāng)時(shí)，總有成立.

又，

所以()是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，  ……9分     

，,

又因?yàn)?sub>，所以.       …………………………10分

（Ⅲ）證明：由題意得

                          .

因?yàn)?sub>，所以. 

所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.   ………………………………………………11分

因此要證，只須證.

由，則<，即. …12分

因此

.

所以.

故當(dāng),恒有.      …………………………………14分