Question

（2012•上海二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距為c（c＞0），且滿足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i為虛數(shù)單位），經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F（-c，0），斜率為k₁（k₁≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)k1=1時(shí)，求S_△AOB的值；
（3）設(shè)R（1，0），延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為k₂，求證：

k1

k2

為定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)（2a-3c）+（a-c）i=i，可求a，c的值，利用b²=a²-c²=5，即可求橢圓Γ的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=x+2，代入橢圓方程，消去y可得14x²+36x-9=0，求出|AB|，O點(diǎn)到直線AB的距離為d，即可求S_△AOB的值；
（3）求出直線AR的方程，代入橢圓方程消去x并整理，從而可得C的坐標(biāo)，同理可得D的坐標(biāo)，進(jìn)而可求斜率，化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：∵（2a-3c）+（a-c）i=i，∴2a-3c=0且a-c=1，∴a=3，c=2
∴b²=a²-c²=5，
故橢圓的方程為

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）解：由（1）知F（-2，0），∴直線AB的方程為y=x+2，
代入橢圓方程，消去y可得14x²+36x-9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

18

7

，x₁x₂=-

9

14

∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=

30

7

設(shè)O點(diǎn)到直線AB的距離為d，則d=

|0-0+2|

2

=

2

∴S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

30

7

×

2

=

15 2

7

；
（3）證明：設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由已知，直線AR的方程為y=

y1

x1-1

(x-1)，即x=

x1-1

y1

y+1
代入橢圓方程消去x并整理，得

5-x1

y12

y2+

x1-1

y1

y-4=0
則y₁y₃=-

4y12

5-x1

，∴y₃=

4y1

x1-5

∴x3=

x1-1

y1

y3+1=

5x1-9

x1-5

∴C（

5x1-9

x1-5

，

4y1

x1-5

）
同理D（

5x2-9

x2-5

，

4y2

x2-5

）
∴k₂=

4y1 x1-5 - 4y2 x2-5

5x1-9 x1-5 - 5x2-9 x2-5

=

4y1(x2-5)-4y2(x1-5)

16(x2-x1)

∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₂（x₂+2），
∴k₂=

4k1(x1+2)(x2-5)-4k2(x2+2)(x1-5)

16(x2-x1)

=

7k1(x2-x1)

4(x2-x1)

=

7k1

4

∴

k1

k2

=

4

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．