精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知橢圓： $數(shù)學(xué)公式$ ．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為 $數(shù)學(xué)公式$ 和 $數(shù)學(xué)公式$ ，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設(shè)原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時 $數(shù)學(xué)公式$ 的值．

解：（Ⅰ）∵橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，
∴2a=4，a=2，2c=2 $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ，
∴橢圓的方程： $\text{[math]}$
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等
（1）當(dāng)P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為 $\text{[math]}$ ，d=1? $\text{[math]}$ ．
（2）當(dāng)P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為 $\text{[math]}$ ，d=1? $\text{[math]}$ ．
（3）當(dāng)P不在坐標軸上時，設(shè)PQ斜率為k，P（x₁，kx₁）、 $\text{[math]}$
P在橢圓上， $\text{[math]}$ ①；
R在橢圓上， $\text{[math]}$ ②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　 $\text{[math]}$
整理得　 $\text{[math]}$ ．再將①②代入，得 $\text{[math]}$
綜上當(dāng)d=1時，有 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，知2a=4，2c=2 $\text{[math]}$ ，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等．當(dāng)P在y軸上時，R在x軸上，PR方程為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．當(dāng)P在x軸上時，R在y軸上，PR方程為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．當(dāng)P不在坐標軸上時，設(shè)PQ斜率為k，P（x₁，kx₁）、 $\text{[math]}$ ，P在橢圓上， $\text{[math]}$ ，R在橢圓上， $\text{[math]}$ ．利用Rt△POR得d|PR|=|OP|•|OR|，由此得 $\text{[math]}$ ．故當(dāng)d=1時，有 $\text{[math]}$ ．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意分類討論思想的合理運用．

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