【題目】已知兩定點(diǎn),,點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且,記的軌跡是.
(1)求曲線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)引直線交曲線于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明直線過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)設(shè),根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算并結(jié)合,代入化簡(jiǎn)即可求得的軌跡是.
(2)當(dāng)斜率為0時(shí),直線即為軸,此時(shí)定點(diǎn)一定在軸上.當(dāng)斜率不為0時(shí),設(shè)直線方程與,,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理表示出,進(jìn)而表示出直線.令,化簡(jiǎn)即可求得為定值,即可得所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).
設(shè),則,,,,
所以,即.
故點(diǎn)到,這兩點(diǎn)的距離之和為4,
,
由橢圓定義得曲線為橢圓且,,
所以曲線.
(2)若直線斜率為0,則直線即為軸,此時(shí)定點(diǎn)一定在軸上.
若直線斜率不為0,則可設(shè)直線,設(shè),
由得
所以
故直線為,
令,
可得
所以直線恒過(guò).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的直角頂點(diǎn)在軸上,點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn),且平行于軸.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.以為直徑的圓交軸于即此圓的圓心為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若是的唯一極值點(diǎn),求.
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【題目】對(duì)于函數(shù)f(x)給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐點(diǎn)”;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.給定函數(shù),請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果,計(jì)算f()+f()+f()+……+f()=_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若方程有五個(gè)不同的根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),g(x)1.
(1)若f(a)=2,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并證明;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=g(x)(x>0),若h(2t)+mh(t)+4>0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,且與的圖象有一個(gè)斜率為1的公切線(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求;
(2)設(shè)函數(shù),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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