Question

【題目】若函數f（x）對于定義域內的任意x都滿足 ，則稱f（x）具有性質M．
（1）很明顯，函數 （x∈（0，+∞）具有性質M；請證明 （x∈（0，+∞）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．
（2）已知函數g（x）=|lnx|，點A（1，0），直線y=t（t＞0）與g（x）的圖象相交于B、C兩點（B在左邊），驗證函數g（x）具有性質M并證明|AB|＜|AC|．
（3）已知函數 ，是否存在正數m，n，k，當h（x）的定義域為[m，n]時，其值域為[km，kn]，若存在，求k的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（ ）= + =x+ =f（x），∴函數f（x）具有性質M．

任取x1、x2且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=（x1+ ）﹣（x2+ ）=（x1﹣x2）+（ ﹣ ）=（x1﹣x2） ，

若x1、x2∈（0，1），

則0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，1）上是減函數．

若x1、x2∈（1，+∞），

則x1x2＞1，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（1，+∞）上是增函數．

（2）解：∵ ，∴g（x）具有性質M

由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=et，

∵t＞0，∴e﹣t＜et，

∴ ，

∴ ，∴ ，

∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣et）2=[2﹣（e﹣t+et）]（et﹣e﹣t）

由（1）知， 在x∈（0，+∞）上的最小值為1（其中x=1時）

而 ，故2﹣（e﹣t+et）＜0，et﹣e﹣t＞0，

|AB|＜|AC|

（3）解：∵h（1）=0，m，n，k均為正數，

∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n

當0＜m＜n＜1時，0＜x＜1， = 是減函數，

值域為（h（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，

∴ ，∴ ，∴1﹣n2=1﹣m2

故不存在

當1＜m＜n時，x＞1， = 是增函數，

∴h（m）=km，h（n）=kn，∴ ，

∴（1﹣k）m2=1，（1﹣k）n2=1， ，不存在

綜合得，若不存在正數m，n，k滿足條件

【解析】（1）根據函數單調性的定義進行證明即可，（2）根據函數的性質利用作差法進行判斷即可，（3）根據 函數定義域和值域的關系建立方程，進行求解即可．