解：（1）記g（x）=e
x-bx．
當(dāng)b=1時，g′（x）=e
x-1．
當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
又g（0）=1＞0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，g（x）＞0．
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=|g（x）|=g（x），
所以f′（1）=g′（1）=e-1．
所以曲線y=f（x）在點（1，e-1）處的切線方程為：y-（e-1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x． …（4分）
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，即方程e
x-bx=0有且只有一個解．
因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=
． …（6分）
令h（x）=
，由h′（x）=
=0得x=1．
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）∈（e，+∞）；
當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，h（x）∈（e，+∞）；
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，方程b=
有且只有一解等價于b=e．…（8分）
當(dāng)x∈（-∞，0）時，h（x）單調(diào)遞減，且h（x）∈（-∞，0），
從而方程b=
有且只有一解等價于b∈（-∞，0）．
綜上所述，b的取值范圍為（-∞，0）∪{e}． …（10分）
（3）由g′（x）=e
x-b=0，得x=lnb．
當(dāng)x∈（-∞，lnb）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（lnb，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
所以在x=lnb時，g（x）取極小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）．
①當(dāng)0＜b≤e時，g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）≥0，從而當(dāng)x∈R時，g（x）≥0．
所以f（x）=|g（x）|=g（x）在（-∞，+∞）上無極大值．
因此，在x∈（0，2）上也無極大值． …（12分）
②當(dāng)b＞e時，g（lnb）＜0．
因為g（0）=1＞0，g（2lnb）=b
2-2blnb=b（b-2lnb）＞0，
（令k（x）=x-2lnx．由k′（x）=1-
=0得x=2，從而當(dāng)x∈（2，+∞）時，k（x）單調(diào)遞增，
又k（e）=e-2＞0，所以當(dāng)b＞e時，b-2lnb＞0．）
所以存在x
1∈（0，lnb），x
2∈（lnb，2lnb），使得g（x
1）=g（x
2）=0．
此時f（x）=|g（x）|=
所以f（x）在（-∞，x
1）單調(diào)遞減，在（x
1，lnb）上單調(diào)遞增，在（lnb，x
2）單調(diào)遞減，在（x
2，+∞）上單調(diào)遞增． …（14分）
所以在x=lnb時，f（x）有極大值．
因為x∈（0，2），所以當(dāng)lnb＜2，即e＜b＜e
2時，f（x）在（0，2）上有極大值；
當(dāng)lnb≥2，即b≥e
2 時，f（x）在（0，2）上不存在極大值．
綜上所述，在區(qū)間（0，2）上，當(dāng)0＜b≤e或b≥e
2時，函數(shù)y=f（x）不存在極大值；
當(dāng)e＜b＜e
2時，函數(shù)y=f（x），在x=lnb時取極大值f（lnb）=b（lnb-1）．…（16分）
分析：（1）記g（x）=e
x-bx，當(dāng)b=1時，g′（x）=e
x-1，從而可得f′（1）=g′（1）=e-1，由此可求切線方程；
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，即方程e
x-bx=0有且只有一個解，因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=
，分類討論可得當(dāng)x∈（0，+∞）時，方程有且只有一解等價于b=e；當(dāng)x∈（-∞，0）時，方程有且只有一解等價于b∈（-∞，0），從而可得b的取值范圍；
（3）由g′（x）=e
x-b=0，得x=lnb，從而可得在x=lnb時，g（x）取極小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb），再分類討論，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．
