定義“正對數(shù)”:ln+x=
0,0<x<1
lnx,x≥1
,現(xiàn)有四個命題:
①若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a
②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln+a+ln+b
③若a>0,b>0,則ln+(
a
b
)≥ln+a-ln+b

④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2
其中正確的命題有(  )
A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④
∵定義“正對數(shù)”:ln+x=
0,0<x<1
lnx,x≥1

①當0<a<1,b>0時,0=0b<ab<1b=1,左=右=0;
當a>1,b>0時,ab>1,左端ln+(ab)=lnab=blna=右端,故①真;
②若0<a<1,b>0時,ab∈(0,1),也可能ab∈(1,+∞),舉例如下:ln+
1
3
×2)=0≠ln2=ln+
1
3
+ln+2,故②錯誤;
③若0<a<b<1,0<
a
b
<1,左端=0,右端=0,左端≥右端,成立;
當0<a<1≤b,0<
a
b
<1,ln+b=lnb≥0,左端=0,右端=0-lnb≤0,左端≥右端,成立;
當1≤a<b時,ln+
a
b
)=0,ln+a=lna,ln+b=lnb,左端=0≥lna-lnb=右端,成立;
同理可知,當0<b<a<1,0<b<1≤a,1≤b<a時,總有左端≥右端;
當0<a=b時,左端=右端,不等式也成立;
綜上,③真;
④若0<a+b<1,b>0時,左=0,右端≥0,顯然成立;
若a+b>1,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2?ln+
a+b
2
≤ln+a+ln+b,成立,故④真;
綜上所述,正確的命題有①③④.
故選:A.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列說法正確的是( 。
①原命題為真,它的否命題為假
②原命題為真,它的逆命題不一定為真
③一個命題的逆命題為真,它的否命題一定為真
④一個命題的逆否命題為真,它的否命題一定為真.
A.①②B.②③C.③④D.②③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x+
1
2x

(1)判斷f(x)為奇偶性;
(2)證明f(x)函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

下列說法:
①函數(shù)f(x)=lnx+3x-6的零點只有1個且屬于區(qū)間(1,2);
②若關(guān)于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,則a∈(0,1);
③函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象有3個不同的交點;
④函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,
π
4
]
的最小值是1.
正確的有______.(請將你認為正確的說法的序號都寫上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列結(jié)論中正確的是( 。
A.若ac>bc,則a>bB.若a8>b8,則a>b
C.若a>b,c<0,則ac<bcD.若
a
b
,則a>b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若命題“如果p,那么q”為真,則( 。
A.q⇒pB.非p⇒非qC.非q⇒非pD.非q⇒p

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列命題中正確的命題有幾個( 。
(1)a1+a4=a2+a3是a1,a2,a3,a4依次構(gòu)成等差數(shù)列的必要非充分條件.
(2)若{an}是等比數(shù)列,bk=a2k-1+a2k,k∈N*,則{bk}也是等比數(shù)列.
(3)若a,b,c依次成等差數(shù)列,則a+b,a+c,b+c也依次成等差數(shù)列.
(4)數(shù)列{an}所有項均為正數(shù),則數(shù)列{bn}(bn=anan+1,n∈N*)構(gòu)成等比數(shù)列的充要條件是{an}構(gòu)成等比數(shù)列.
A.1個B.2個C.3個D.4個

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知下列命題:
①命題“若x≠1,則x2-3x+2≠0”的逆否命題是“若x2-3x+2=0,則x=1”
②命題p:?x∈R,x2+x+1≠0,則?p:?x∈R,x2+x+1=0.
③若p∨q為真命題,則p,q均為真命題
④“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件
其中,真命題的個數(shù)有( 。
A.4個B.3個C.2個D.1個

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列說法正確的是 (     )
A.“”是“上為增函數(shù)”的充要條件[]
B.命題“使得”的否定是:“
C.“”是“”的必要不充分條件
D.命題p:“”,則p是真命題

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同步練習(xí)冊答案