【題目】如圖所示,在三棱錐A﹣BCD中,側面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊且AD= ,BD=CD=1,另一側面ABC是正三角形.
(1)求證:AD⊥BC;
(2)若在線段AC上存在一點E,使ED與平面BCD成30°角,試求二面角A﹣BD﹣E的大。
【答案】
(1)證明:取BC的中點O,連結AO,DO,
∵BD=CD,AB=AC,
∴AO⊥BC,OD⊥BC,又OA∩OD=O,
∴BC⊥平面AOD,
又AD平面AOD,
∴AD⊥BC
(2)解:在平面AOD中,過O作OD的垂線Oz,則OC,OD,Oz兩兩垂直,
以O為原點,以OC,OD,Oz為坐標軸建立空間直角坐標系,如圖所示:
∵BD=CD=1,AD= ,AC⊥CD,AB⊥BD,△ABC是等邊三角形,
∴BC=AB=AC= ,∴OD= BC= ,OA= ,
∴cos∠AOD= =﹣ ,
∴A(0,﹣ ,1),C( ,0,0),D(0, ,0),
∴ =(﹣ ,﹣ ,1), =( ,﹣ ,0),設 =(﹣ λ,﹣ λ,λ),
則 = =( ﹣ λ,﹣ ﹣ λ,λ),
∵平面BCD的一個法向量為 ,
∵ED與平面BCD成30°角,
∴cos< , >= = = ,解得λ= ,
∴ =( ,﹣ , ),又B(﹣ ,0,0),
∴ =( ,﹣ ,1), =( , ,0),
設平面BDE的法向量 =(x,y,z),則 ,即 ,
令y=﹣1則 =(1,﹣1,﹣2),同理可得平面ABD的法向量為 =(1,﹣1,﹣ ),
∴ = = = ,設平面ABD與平面ACD成角為θ,
則 ,
∴ .
【解析】(1)取BC的中點O,連結AO,DO,由三線合一可得BC⊥OD,BC⊥AO,故而BC⊥平面AOD,于是BC⊥AD;(2)以O為原點建立空間坐標系,根據(jù)ED與平面BCD成30°角得出E點坐標,求出平面ABD與平面BDE的法向量,計算法向量的夾角即可得出二面角的大。
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知相交直線:同一平面內,有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內,沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內,沒有公共點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若正態(tài)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則ξ在區(qū)間(μ﹣σ,μ+σ),(μ﹣2σ,μ+2σ),(μ﹣3σ,μ+3σ)內取值的概率分別是0.6826,0.9544,0.9973.已知某大型企業(yè)為10000名員工定制工作服,設員工的身高(單位:cm)服從正態(tài)分布N(172,52),則適宜身高在177~182cm范圍內員工穿的服裝大約要定制套.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,若正實數(shù)a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍為( )
A.(e,2e+e2)
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠BAD=90°,AB=AD= CD=1,如圖2,將△ABD沿BD折起來,使平面ABD⊥平面BCD,設E為AD的中點,F(xiàn)為AC上一點,O為BD的中點.
(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;、
(Ⅱ)若三棱錐A﹣BEF的體積為 ,求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的絕對值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將三顆骰子各擲一次,設事件A=“三個點數(shù)都不相同”,B=“至少出現(xiàn)一個6點”,則概率P(A|B)等于( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】下面四個命題中,真命題是( ) ①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質檢員每30分鐘從生產(chǎn)流水線中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測,這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣;
②兩個變量的線性相關程度越強,則相關系數(shù)的值越接近于1;
③兩個分類變量X與Y的觀測值κ2 , 若κ2越小,則說明“X與Y有關系”的把握程度越大;
④隨機變量X~N(0,1),則P(|X|<1)=2P(X<1)﹣1.
A.①④
B.②④
C.①③
D.②③
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【題目】某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染,提供了批號分別為1,2,3,4,5的五批疫苗,供全市所轄的A,B,C三個區(qū)市民注射,每個區(qū)均能從中任選其中一個批號的疫苗接種.
(1)求三個區(qū)注射的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同的概率;
(2)記A,B,C三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為X,求 X的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列{an}和{bn}的項數(shù)均為n,則將 定義為數(shù)列{an}和{bn}的距離.
(1)已知 ,bn=2n+1,n∈N* , 求數(shù)列{an}和{bn}的距離dn .
(2)記A為滿足遞推關系 的所有數(shù)列{an}的集合,數(shù)列{bn}和{cn}為A中的兩個元素,且項數(shù)均為n.若b1=2,c1=3,數(shù)列{bn}和{cn}的距離大于2017,求n的最小值.
(3)若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N* , 恒有 則稱數(shù)列{an}和{bn}的距離是有界的.若{an}與{an+1}的距離是有界的,求證: 與 的距離是有界的.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求實數(shù)m的最大值;
(2)當a< 時,函數(shù)g(x)=f(x)+|2x﹣1|有零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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