Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞c＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，c為半焦距，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c），
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）設(shè)橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點，與圓F₂交于C，D兩點，若O在以AB為直徑的圓上，求|

CD

|的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)切線長|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，當(dāng)且僅當(dāng)|PF₂|取得最小值時取得最小值，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
（2）依題意得點Q的坐標為（1，0），直線l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立方程組

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出|

CD

|的最大值．

解答： 解：（1）根據(jù)題意可設(shè)切線長|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，
所以當(dāng)且僅當(dāng)|PF₂|取得最小值時取得最小值．
而|PF₂|_min=a-c，所以

(a-c)2-(b-c)2

≥

3

2

(a-c)，
所以0＜

b-c

a-c

≤

1

2

，
從而解得

3

5

≤e＜

2

2

，
∴離心率的取值范圍是{e|

3

5

≤e＜

2

2

}．…（5分）
（2）依題意得點Q的坐標為（1，0），
則得直線l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程組

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

，
得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
則有x1+x2=

2a2k2

a2k2+1

，x1x2=

a2k2-a2

a2k2+1

，
代入直線方程得y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=

k2(1-a2)

a2k2+1

，x1x2+y1y2=

k2-a2

a2k2+1

，
由題意OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，k²=a²，解得k=a，
直線方程為ax-y-a=0，圓心F₂（c，0）到直線l的距離d=

|ac-a|

a2+1

，|CD|2=4[(b-c)2-d2]=4[(1-c)2-

a2(c-1)2

a2+1

]=

4(c-1)2

a2+1

，|CD|=

2|c-1|

a2+1

=2

c2-2c+1 a2+1

=2

c2-2c+1 c2+2

=2

1- 2c+1 c2+2

=2

1- 4 2c+1+ 9 2c+1 -2

，
又由（1）知

3

5

≤e＜

2

2

，
所以

3

4

≤c＜1，

5

2

≤2c+1＜3，所以|CD|∈(0，

2 41

41

]，
所以當(dāng)c=

3

4

時，|CD|max=

2 41

41

，
所以|

CD

|的最大值為

2 41

41

．…（13分）

點評：本題考查橢圓離心率的取值范圍的求法，考查線段長的最大值的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．