Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為0，1，且其圖象的頂點(diǎn)恰好在函數(shù)y=log₂x的圖象上．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax（x-1），由頂點(diǎn)(

1

2

，-

a

4

)在函數(shù)y=log₂x的圖象上，能求出f（x）=4x²-4x．
（Ⅱ）由f（x）=4x²-4x=4（x-

1

2

）²-1，能求出函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax（x-1）（a≠0），
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

2

，-

a

4

)，…（4分）
∵頂點(diǎn)在函數(shù)y=log₂x的圖象上，
∴-

a

4

=log2

1

2

，解得a=4，
∴f（x）=4x²-4x．…（8分）
（Ⅱ）∵f（x）=4x²-4x=4（x-

1

2

）²-1，

1

2

∈[0，2]，且|0-

1

2

|＜|2-

1

2

|，
∴ymin=f(

1

2

)=-1，ymax=f(2)=8，
∴函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)的最大值是8，最小值是-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的最大值和最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意配方法的合理運(yùn)用．