Question

求函數(shù)y=log2(x2+2x+3)的定義域、單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

分析：令t=x²+2x+3＞0，求得x的范圍，可得函數(shù)y的定義域．
根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y的增區(qū)間即函數(shù)t在R上的增區(qū)間，函數(shù)y的減區(qū)間即函數(shù)t在R上的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間和減區(qū)間．
利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得二次函數(shù)t的值域，可得y=log₂t 的值域．

解答：解：令t=x²+2x+3＞0，求得x∈R，故函數(shù)y的定義域為R．
根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y的增區(qū)間即函數(shù)t=x²+2x+3在R上的增區(qū)間，
函數(shù)y的減區(qū)間即函數(shù)t=x²+2x+3在R上的減區(qū)間．
利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間（-∞，-1），減區(qū)間（-1，+∞），
故函數(shù)y的增區(qū)間（-∞，-1），減區(qū)間（-1，+∞）．
再由t=（x+1）²+2≥2，可得y=log₂t≥1，故函數(shù)y的值域[1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的定義域和值域的求法，復合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．