Question

9．如圖，已知AB為圓O的直徑，C，D是圓O上的兩個點，C是劣弧$\widehat{BD}$的中點，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F．
（1）求證：CF=FG
（2）求證：DG•AC=AG•CE．

Answer 1

分析 （1）證明∠ACE=∠CGF，即可證明CF=FG
（2）證明Rt△ADG∽Rt△AEC，即可證明：DG•AC=AG•CE．

解答 證明：（1）∵C是劣弧BD的中點，∴∠DAC=∠CAB
在Rt△ADG與Rt△AEC中，∠ADB=∠AEC=90°，∴∠DGA=∠ACE，
又∠DGA=∠CGF，所以∠ACE=∠CGF．
從而，在△CGF中，CF=FG…（5分）
（2）在Rt△ADG與Rt△AEC中，∠DAC=∠CAB
因此，Rt△ADG∽Rt△AEC，由此可得$\frac{DG}{AG}=\frac{CE}{AC}$，即DG•AC=AG•CE…（10分）

點評 本題考查的知識點圓周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根據(jù)AB是圓O的直徑，CE⊥AB于E，找出要證明相等的角所在的直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．