Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3）．
（1）若函數(shù)g（x）=x，f（x）在區(qū)間（-∞，

a

3

）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）當a=-1時，證明方程f（x）=2x³-1僅有一個實數(shù)根．
（3）當x∈[0，1]時，試討論|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3），可設函數(shù)f（x）-2x的解析式為（x）-2x=a（x+1）（x-3），得出f（x）的解析式．根據(jù)若函數(shù)g（x）區(qū)間 (-∞，

a

3

)內(nèi)單調(diào)遞減，通過導函數(shù)g′（x）＜0，求a的取值范圍．
（2）若方程f（x）=2x³-1僅有一個實數(shù)根，我們可以構(gòu)造函數(shù)h（x）=2x³+x²-4x-4，則函數(shù)h（x）=2x³+x²-4x-4無極值點，或兩個極值點的函數(shù)值同號，求出函數(shù)的導函數(shù)，分析后，即可得到結(jié)論；
（3）構(gòu)造函數(shù)r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分析后構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，即可求出|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件．

解答：解：（1）∵f（x）-2x＞0的解集為（-1，3），
∴可設f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax²+2（1-a）x-3a①
g（x）=xf（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax，
∵g（x）在區(qū)間 (-∞，

a

3

)內(nèi)單調(diào)遞減，
∴g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a在 (-∞，

a

3

)上的函數(shù)值非正，
由于a＜0，對稱軸 x=

2(a-1)

3a

＞0，
故g/(

a

3

)=

a3

3

+

4

3

a(1-a)-3a≤0
注意到a＜0，∴a²+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范圍是（-∞，-1]．
（2）當a=-1時，方程f（x）=2x³-1僅有一個實數(shù)根，即證方程2x³+x²-4x-4有且僅有一個實數(shù)根．
令h（x）=2x³+x²-4x-4，
由h′（x）=6x²+2x-4=0，得x=-1，或x=

2

3

由此易得函數(shù)h（x）=2x³+x²-4x-4在區(qū)間（-∞，-1），（

2

3

，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，

2

3

）上遞減
h（x）的極大值h（-1）=-1＜0
故函數(shù)h（x）的圖象與x軸僅有一個交點，
∴當a=-1時，方程f（x）=2x³-1僅有一個實數(shù)根
（3）設r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax²+x+1，
r（0）=1，對稱軸為x=-

1

2a

由題意，得

- 1 2 ≤a＜0 r(1)=a+2≤3

或

a＜- 1 2 r(- 1 2a )=1- 1 4a ≤3 r(1)=a+2≥-3

解得a≥-5
故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件為a≥-5．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，及二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．步驟一般是首先確定所求問題含待定系數(shù)的解析式．其次根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程．最后解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決．其中熟練掌握二次函數(shù)、二次不等式、二次方程之間的聯(lián)系，熟練的進行相互轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．