試證明,對一切xR都有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.利用這個(gè)結(jié)果,求函數(shù)y =sin xcos xsinx· cos x的最大值和最小值.

 

答案:
解析:

要證明,只要證明:sin 2 x+2sin x · cos xcos 2 x≤2,

只要證明對一切xR都有:2sin x · cos x≤1,

只要證明:2sin x · cos x sin 2 xcos 2 x,

即證明:(sin xcos x)2 ≥0.

因?yàn)閷θ我?i>x∈R,不等式(sin xcos x)2 ≥0總成立,且上述各步都可逆,所以對一切xR,都有.論證中可以看出:當(dāng)且僅當(dāng)sin xcos x =0,即tan x =1時(shí),不等式中的等號成立,也就是說當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),(kZ),

函數(shù)y =sin x · cos xsin xcos x中,把sin xcos x表示或者把cos xsin x表示都要出現(xiàn)根式,不便于求最大、最小值.注意到

,

則有:

sin xcos x =t,如本題所證知:

只要考查關(guān)于t的二次函數(shù)的最大、最小值,這個(gè)二次函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一段弧,

,可見:

當(dāng)t =1時(shí),該函數(shù)有最小值-1;當(dāng)時(shí),該函數(shù)有最大值

     綜上分析知:

當(dāng)x =2π時(shí),函數(shù)y =sin x · cos xsin xcos x有最小值-1;

當(dāng)時(shí),該函數(shù)有最大值

 


練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f (x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,并且f (x)<0對一切x∈R成立,試判斷-
1f(x)
在(-∞,0)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

先閱讀下列不等式的證法:
已知a1,a2∈R,a12+a22=1,求證:|a1+a2|≤
2

證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a12+(x-a22,則f(x)=2x2-2(a1+a2)x+1,因?yàn)閷σ磺衳∈R,恒有f(x)≥0,所以△=4(a1+a22-8≤0,故得|a1+a2|≤
2

再解決下列問題:
(1)若a1,a2,a3∈R,a12+a22+a32=1,求證|a1+a2+a3|≤
3
;
(2)試將上述命題推廣到n個(gè)實(shí)數(shù),并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044

試證明,對一切xR都有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.利用這個(gè)結(jié)果,求函數(shù)y =sin xcos xsinx· cos x的最大值和最小值.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

先閱讀下列不等式的證法:
已知a1,a2∈R,a12+a22=1,求證:|a1+a2|≤
2

證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a12+(x-a22,則f(x)=2x2-2(a1+a2)x+1,因?yàn)閷σ磺衳∈R,恒有f(x)≥0,所以△=4(a1+a22-8≤0,故得|a1+a2|≤
2

再解決下列問題:
(1)若a1,a2,a3∈R,a12+a22+a32=1,求證|a1+a2+a3|≤
3

(2)試將上述命題推廣到n個(gè)實(shí)數(shù),并證明你的結(jié)論.

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