Question

【題目】已知空間幾何體中， 與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形， 為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（Ⅰ）試在平面內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行，并給出詳細(xì)證明；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則即為所求.

取中點(diǎn)，連結(jié)，則，由線面垂直的性質(zhì)定理可得平面，同理可證平面，則平面.結(jié)合幾何關(guān)系可得平面.故平面平面， 平面.

(Ⅱ)連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，由（Ⅰ）可知平面，結(jié)合幾何關(guān)系可得， ， . .

試題解析：

（Ⅰ）如圖所示，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則即為所求.

證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，

∵為腰長(zhǎng)為的等腰三角形， 為中點(diǎn)，

∴，

又平面平面，

平面平面， 平面，

∴平面，

同理可證平面，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面.

又， 分別為， 中點(diǎn)，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面.

又， 平面， 平面，

∴平面平面，

又平面，∴平面.

（Ⅱ）連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，

由（Ⅰ）可知平面，

所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等.

又是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，∴平面，

∴，又為中點(diǎn)，∴，

又， ，∴.

∴ .