(如圖1)在平面四邊形中,為中點(diǎn),,,且,現(xiàn)沿折起使,得到立體圖形(如圖2),又B為平面ADC內(nèi)一點(diǎn),并且ABCD為正方形,設(shè)F,G,H分別為PB,EB,PC的中點(diǎn).
(1)求三棱錐的體積;
(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M,使直線與直線所成角為?若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1);(2)存在,.
解析試題分析:本題考查空間兩條直線的位置關(guān)系、異面直線所成的角、直線與平面垂直和平行等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何中的問題,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問,先用三角形中位線,證,所以利用線面平行的判定定理,得出平面,同理:平面,把與的夾角轉(zhuǎn)化為與的夾角,利用面面平行,轉(zhuǎn)化到平面的距離為到平面的距離,易得出距離為1,最后求轉(zhuǎn)化后的;第二問,由已知建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),用反證法,先假設(shè)存在,假設(shè),求出向量和坐標(biāo),用假設(shè)成立的角度,列出夾角公式,解出,如果有解即存在,否則不存在,并可以求出的坐標(biāo)及.
試題解析:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/10/f/nhtet3.png" style="vertical-align:middle;" />分別為的中點(diǎn),所以.又平面,平面,所以平面,同理:平面.
且,.
∴與的夾角等于與的夾角(設(shè)為)
易求. 4分
∵平面平面,∴到平面的距離即到平面的距離,過作的垂線,垂足為,則為到平面的距離.
.
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0c/4/aujdd.png" style="vertical-align:middle;" />平面,,所以平面,所以.又因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e3/2/1bfuw2.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形,所以.
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bc/5/ind5v1.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,
假設(shè)在線段存在一點(diǎn)使直線與直線所成角為.
依題意可設(shè),其中.由,則.
由因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/33/f/12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G為線段PC的中點(diǎn).
(1)證明:PA//平面BGD;
(2)求直線DG與平面PAC所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知三棱錐的側(cè)棱、、兩兩垂直,且,,是的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)到面的距離;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知中,,,為的中點(diǎn),分別在線段上的動(dòng)點(diǎn),且,交于,把沿折起,如下圖所示,
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)當(dāng)二面角為直二面角時(shí),是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成的角為,若存在求的長(zhǎng),若不存在說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在梯形中,,,,平面平面,四邊形是矩形,,點(diǎn)在線段EF上.
(1)求異面直線與所成的角;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐中,面面,底面是直角梯形,側(cè)面是等腰直角三角形.且∥,,,.
(1)判斷與的位置關(guān)系;
(2)求三棱錐的體積;
(3)若點(diǎn)是線段上一點(diǎn),當(dāng)//平面時(shí),求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=,AD=1.
(I)求證:CD⊥平面PAC;
(II)求二面角A-PD-C的余弦值.
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