Question

如下圖,直線l₁和l₂相交于M,且l₁⊥l₂,點(diǎn)N∈l₁.已知以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上任一點(diǎn)到l₂的距離與到N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線段C的方程.

Answer 1

思路分析:求軌跡方程旨在合理地建系、設(shè)點(diǎn).根據(jù)題設(shè)或相關(guān)的定義找出問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而求得曲線方程.

解:根據(jù)拋物線的定義,可將l₁取為x軸、MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系.

這樣曲線段C的方程可設(shè)為y²=2px.

于是可設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則M(-,0),N(,0),C:y²=2px(x₁≤x≤x₂,y＞0).

由條件得

即

解得

又由△AMN是銳角三角形,

∴＞x₁(結(jié)合圖形).

因此p=4,x₁=1,

∴C的方程為y²=8x.

而|BN|=6,

∴(x₂-)²+y₂²=36,

即(x₂-2)²+8x₂=36,解得x₂=4.

故所求的曲線段C的方程為y²=8x(1≤x≤4,y＞0).