第八屆中國花博會(huì)將于2013年9月在常州舉辦,展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD,BC=a,CD=b.a(chǎn),b為常數(shù)且滿足b<a.組委會(huì)決定從該矩形地塊中劃出一個(gè)直角三角形地塊AEF建游客休息區(qū)(點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段AB,AD上),且該直角三角形AEF的周長為(l>2b),如圖.設(shè)AE=x,△AEF的面積為S.
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試確定點(diǎn)E的位置,使得直角三角形地塊AEF的面積S最大,并求出S的最大值.
分析:(1)根據(jù)題意,分析可得,欲求,△AEF場地占地面積,只須求出圖中直角三角形的周長求出另一邊長AF,再結(jié)合直角三角形的面積計(jì)算公式求出它們的面積即得;
(2)對于(1)所列不等式,可利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性求它的最大值,從而解決問題.
解答:解:(1)設(shè)AF=y,則x+y+
x2+y2
=l
,
整理,得y=
l2-2lx
2(l-x)
.…(3分)
S=
1
2
xy=
x(l2-2lx)
4(l-x)
,x∈(0,b].  …(4分)
(2)S=
l
4
2x2-4lx+l2
(x-l)2
=
2l
4(x-l)2
(x-
2-
2
2
l)•(x-
2+
2
2
l),x∈(0,b]

∴當(dāng)b≤
2-
2
2
l
時(shí),S′>0,S在(0,b]遞增,
故當(dāng)x=b時(shí),Smax=
bl(2b-l)
4(b-l)
;
當(dāng)b>
2-
2
2
l
時(shí),在x∈(0,
2-
2
2
l)
上,S′>0,S遞增,在x∈(
2-
2
2
l,b)
上,S′<0,S遞減,
故當(dāng)x=
2-
2
2
l
時(shí),Smax=
3-2
2
4
l2
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、函數(shù)解析式的求解及常用方法及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試確定點(diǎn)E的位置,使得直角三角形地塊AEF的面積S最大,并求出S的最大值.

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(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
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