【題目】如圖,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為4的正三角形,B,E,F(xiàn)分別是AA1 , CC1的中點,且BE⊥B1F.
(Ⅰ)求證:B1F⊥EC1;
(Ⅱ)求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)分別取BC1 , BC中點D,G,連結(jié)ED,AG, ∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且底面是正三角形,
∴AG⊥面BCC1B1 ,
又∵E,D都是中點,∴ED∥AG,則ED⊥面BCC1B1 , 可得ED⊥B1F,
已知BE⊥B1F,且BE∩ED=E,∴B1F⊥面BEC1 , 則B1F⊥EC1;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知B1F⊥面BEC1 , ∴B1F⊥BC1 , 則△B1C1F∽△BB1C1 ,
∴ ,設(shè)BB1=a,則C1F= ,代入得a= ,
以O(shè)為原點,OE為x軸,OC為y軸,過O作平面ABC的垂線為z軸,建立如圖坐標(biāo)系O﹣xyz,
得C(0,2,0),B( ,0,0),E(0,﹣2, ),
C1(0,2,4 ),B1( ,0, ),F(xiàn)(0,2,2 ).
∵B1F⊥面BEC1 , ∴平面BEC1的一個法向量為 ;
設(shè)平面BEC的一個法向量為 ,
則 ,取x= ,得y=3,z= .
∴ .
∴cos< >= = =- .
∴二面角C1﹣BE﹣C的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)分別取BC1 , BC中點D,G,連結(jié)ED,AG,推導(dǎo)出AG⊥面BCC1B1 , 從而ED⊥B1F,BE⊥B1F,由此能證明B1F⊥面BEC1 , 進一步得到B1F⊥EC1;(Ⅱ)以O(shè)為原點,OE為x軸,OC為y軸,過O作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,利用向量法能求出二面角C1﹣BE﹣C的余弦值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,g(x)=b(x+1),其中a≠0,b≠0
(1)若a=b,討論F(x)=f(x)﹣g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)f(x)的曲線與函數(shù)g(x)的曲線有兩個交點,設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)分別為x1 , x2 , 證明: .
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【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=2AD=2.在等腰直角三角形CDE中,∠C=90°,點M,N分別為線段BC,CE上的動點,若 , 則 的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)ω>0,函數(shù)y=2cos(ωx+ )﹣1的圖象向右平移 個單位后與原圖象重合,則ω的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】設(shè)橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2 , 上頂點為A,過A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于Q點,且F1恰好是線段QF2的中點.
(1)若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,B是橢圓C的左頂點,過點R( ,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于E、F兩點,直線BE、BF分別交直線x= 于M、N兩點,若直線MR、NR的斜率分別為k1 , k2 , 試問:k1k2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.
(1)求的值;
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),若不等式在上恒成立,求滿足條件的最小整數(shù)的值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= 與g(x)=a2lnx+b有公共點,且在公共點處的切線方程相同,則實數(shù)b的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求實數(shù)m的最大值;
(2)當(dāng)a< 時,函數(shù)g(x)=f(x)+|2x﹣1|有零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】(2015·新課標(biāo)I卷)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1: x=-2,圓C2:(x-1)2+(y+2)2=1,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求C1, C2的極坐標(biāo)方程.
(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為,設(shè)C2, C3的交點為M,N,求△C2MN的面積.
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