Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（1）=1，f（-1）=0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥x成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-mx（m∈R），且g（x）在x∈[-1，1]上嚴(yán)格單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=1，f（-1）=0，得方程組，推出b=a+c=

1

2

，由對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥x成立，得不等式組，利用基本不等式即不等式的性質(zhì)可求得a，b，c的值；
（2）由（1）可得f（x）表達(dá)式，從而可表示出g（x），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，要使g（x）滿足題意，須有對(duì)稱軸不在區(qū)間[-1，1]內(nèi)部，從而可得不等式組，解出即可；

解答：解：（1）由題意得：

a+b+c=1 a-b+c=0

，則b=a+c=

1

2

，
又對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，即ax2-

1

2

x+c≥0，
則必須

a＞0 △= 1 4 -4ac≤0

⇒

a＞0 ac≥ 1 16

，
于是c＞0，所以

1

2

=a+c≥2

ac

⇒ac≤

1

16

，
所以只有ac=

1

16

，與a+c=

1

2

聯(lián)立解得：a=c=

1

4

，
綜上可得：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

；
（2）由（1）解得：f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，于是g（x）=f（x）-mx=

1

4

[x2+(2-4m)x+1]，
要使g（x）在x∈[-1，1]上嚴(yán)格單調(diào)，則必須：
對(duì)稱軸x=2m-1≤-1或2m-1≥1，解得：m≤0或m≥1，
則所求的實(shí)數(shù)m的范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)及恒成立，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．