【題目】如圖所示，矩形中，，平面，，為上的點(diǎn)，且平面.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由面，可得，所以，由面，可得.

由線面垂直的判定定理可得平面；（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得平面與平面所成角的余弦值.

試題解析：（1）因為面，所以，

又，所以.

因為面，所以.

又，所以面，即平面.

（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，

設(shè)平面的法向量，平面的法向量為，易知，

令，則，故，令，得，，

于是， .

此即平面與平面所成角的余弦值.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線的普通方程，并說明其表示什么軌跡；

（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，若相交，請求出其弦長.

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【題目】已知橢圓： 的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，長軸長為，為直線：上的動點(diǎn)，，.當(dāng)時，與重合.

（1）若橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求的值.

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【題目】如圖，直三棱柱中，且，是棱上的動點(diǎn)，是的中點(diǎn).

（1）當(dāng)是中點(diǎn)時，求證：平面；

（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角為，若存在，求的長，若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)棱垂直于底面，，，為的中點(diǎn)，平行于，平行于面，.

(1)求的長；

(2)求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）求函數(shù)在的最小值；

（2）設(shè)是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，且，證明：.

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【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長均，為棱（不包括端點(diǎn)）上一動點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）若，求的長；

（Ⅱ）當(dāng)在棱（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動時，求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍．

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【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程為.

（1）求圓心的直角坐標(biāo)；

（2）由直線上的點(diǎn)向圓引切線，并切線長的最小值.

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【題目】祖暅?zhǔn)俏覈R梁時代的數(shù)學(xué)家，是祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容易.”這里的“冪”指水平截面的面積.“勢”指高，這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等。于是可把半徑相等的半球(底面在下)和圓柱(圓柱高等于半徑)放在同一水平面上，圓柱里再放一個半徑和高都與圓柱相等的圓錐(錐尖朝下)，考察圓柱里被圓錐截剩的立體，這樣在同一高度用平行平面截得的半球截面和圓柱中剩余立體截得的截面面積相等，因此半球的體積等于圓柱中剩余立體的體積.設(shè)由橢圓所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體(如圖，稱為“橢球體”)，請類比以上所介紹的應(yīng)用祖暅原理求球體體積的做法求這個橢球體的體積.其體積等于________.

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