Question

設(shè)拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（

3

，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C，|BF|=2，則

|BC|

|AC|

=（　�。�

• A．

  4

  5

• B．

  2

  3

• C．

  4

  7

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：過A、B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、E，連結(jié)AD、BE、AF．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-

3

），將AB方程與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理算出x₁x₂=3．利用拋物線的定義得|BF|=|BE|=x₂+

1

2

=2，算出x₂=

3

2

，從而得出x₁=2，可得|AD|=x₁+

1

2

=

5

2

．最后在△CAD中根據(jù)平行線的性質(zhì)加以計算，即可得到

|BC|

|AC|

的值．

解答：解：拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F（

1

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

，
分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、E，連結(jié)AD、BE、AF．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-

3

），與y²=2x消去y，
得k²x²-（2+2

3

k²）x+3k²=0，所以x₁+x₂=

2+2 3 k2

k2

，x₁x₂=3，
∵|BF|=2，∴根據(jù)拋物線的定義，得|BF|=|BE|=x₂+

1

2

=2，解得x₂=

3

2

．
由此可得x₁=

3

x2

=2，所以|AD|=x₁+

1

2

=

5

2

，
∵△CAD中，BE∥AD，∴

|BC|

|AC|

=

|BE|

|AD|

=

2

5 2

=

4

5

．
故選：A

點(diǎn)評：本題給出拋物線與經(jīng)過M（

3

，0）的直線相交，求截得的線段之間的比值．著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．