Question

（2012•江西模擬）已知實數(shù)a≠0，給出下列命題：
①函數(shù)f(x)=asin(2x+

π

3

)的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱；
②函數(shù)f(x)=asin(2x+

π

3

)的圖象可由g（x）=asin2x的圖象向左平移

π

6

個單位而得到；
③把函數(shù)h(x)=asin(x+

π

3

)的圖象上的所有點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，可以得到函數(shù)f(x)=asin(2x+

π

3

）的圖象；
④若函數(shù)f(x)=asin(2x+

π

3

+?)(x∈R）為偶函數(shù)，則?=kπ+

π

6

(k∈Z)．
其中正確命題的序號有

②③④

；（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：根據(jù)正弦曲線對稱軸的公式，可得直線x=

π

3

不是函數(shù)圖象的對稱軸，故①不正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，可得②正確；根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的變換公式，得到③正確；根據(jù)正余弦函數(shù)的奇偶性，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可得④正確．

解答：解：對于①，因為x=

π

3

時，f(x)=asin(2x+

π

3

)的值是0，不是最值，故直線x=

π

3

不是函數(shù)圖象的對稱軸，故①不正確；
對于②，根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，可得g（x）=asin2x的圖象向左平移

π

6

個單位得到g（x+

π

6

）=asin(2x+

π

3

)，所以f(x)=asin(2x+

π

3

)可由g（x）=asin2x的圖象向左平移

π

6

個單位而得到，故②正確；
對于③，根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的變換公式，得函數(shù)h(x)=asin(x+

π

3

)的圖象上的所有點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，得到函數(shù)f(x)=asin(2x+

π

3

）的圖象，故③正確；
對于④，若函數(shù)f(x)=asin(2x+

π

3

+?)(x∈R）為偶函數(shù)，則f（x）可以化簡為acos2x或-acos2x，因此

π

3

+∅=

π

2

+kπ，解之得?=kπ+

π

6

(k∈Z)，故④正確．
故答案為：②③④

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、正弦函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖象平移規(guī)律等概念，屬于基礎(chǔ)題．