Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求的值；

（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）-1；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率，由兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為，解方程可得的值；

（2）由題意可得，令，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造，求得單調(diào)性，可得的范圍；

（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，由，即為，運(yùn)用參數(shù)分離，令，可得，求得的單調(diào)區(qū)間，可得的范圍，即有的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

圖象在處的切線(xiàn)斜率為

切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，可得

解得

（2）關(guān)于的不等式在上恒成立

即為在恒成立.

即有

令，可得

令，

即在遞減

當(dāng)時(shí)，，可得

可得，即的取值范圍是

（3）由的導(dǎo)數(shù)為

令，由

即為

若時(shí)，方程不成立

若時(shí)，

令，可得

當(dāng)即時(shí)，遞減；即時(shí)，遞增；

時(shí)，遞減.

則當(dāng)時(shí)，

顯然，遞增；或時(shí)，遞減

即有為極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解，有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有三個(gè)解，有三個(gè)極值點(diǎn)

綜上可得，時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；

時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；

時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)