定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.
(1)判斷函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x∈[0,2]是否是有界函數(shù),請寫出詳細判斷過程;
(2)試證明:設M>0,N>0,若f(x),g(x)在D上分別以M,N為上界.求證:函數(shù)f(x)+g(x)在D上以M+N為上界;
(3)若f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
在[0.+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1先判斷函數(shù)在[0,2]上的單調(diào)性,從而可得函數(shù)的值域,即可得到結(jié)論;
(2)利用f(x),g(x)在D上分別以M,N為上界,可得-M≤f(x)≤M,-N≤g(x)≤N,從而可得函數(shù)f(x)+g(x)在D上以M+N為上界;
(3)利用定義可得-3≤1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x≤3
在[0.+∞)上恒成立,換元,再分離參數(shù)求最值,即可得到結(jié)論.
解答:(1)解:∵f(x)=x2-2x+2在[0,1]上遞減,在[1,2]上遞增
∴當x∈[0,2]時,1≤f(x)≤2
∴當x∈[0,2]時,|f(x)|≤2
∴函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x∈[0,2]是有界函數(shù)…(4分)
(2)證明:∵f(x),g(x)在D上分別以M,N為上界,∴-M≤f(x)≤M,∴-N≤g(x)≤N
∴-(M+N)≤f(x)+g(x)≤M+N,即|f(x)+g(x)|≤M+N
∴函數(shù)f(x)+g(x)在D上以M+N為上界;…(8分)
(3)解:∵f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
在[0.+∞)上是以3為上界的有界函數(shù)
-3≤1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x≤3
在[0.+∞)上恒成立,
(
1
2
)x=t,t∈(0,1]
,∴-3≤1+a•t+t2≤3在t∈(0,1]時恒成立.
a≤
2
t
-t
a≥-(t+
4
t
)
在t∈(0,1]時恒成立.
函數(shù)y=
2
t
-t
在(0,1]上單調(diào)遞減,
∴a≤1;y=-(t+
4
t
)
在t∈(0,1]上單調(diào)遞增,∴a≥-5.
∴實數(shù)a的取值范圍是-5≤a≤1…(13分)
點評:本題考查新定義,考查學生的計算能力,考查恒成立問題,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.
已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
x+(
1
4
x;g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(Ⅰ)當a=1時,求函數(shù)f(x)值域并說明函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù)?
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)已知m>-1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界,已知函數(shù)f(x)=1+x+ax2
(1)當a=-1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),并說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[1,4]上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
; g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(1)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知m>-1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于定義在D上的函數(shù)f(x),若存在距離為d的兩條直線y=kx+m1和y=kx+m2,使得對任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,則稱函數(shù)f(x)(x∈D)有一個寬度為d的通道.給出下列函數(shù):①f(x)=
1
x
,②f(x)=sinx,③f(x)=
x2-1
,其中在區(qū)間[1,+∞)上通道寬度可以為1的函數(shù)有( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如右圖所示,定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對?x∈D,常數(shù)A,都有f(x)≥A成立,則稱函數(shù)f(x)在D上有下界,其中A稱為函數(shù)的下界.(提示:圖中的常數(shù)A可以是正數(shù),也可以是負數(shù)或零)
(1)試判斷函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上是否有下界?并說明理由;
(2)已知某質(zhì)點的運動方程為S(t)=at-2
t+1
,要使在t∈[0,+∞)上的每一時刻該質(zhì)點的瞬時速度是以A=
1
2
為下界的函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

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