Question

已知點P（-1，）是橢圓E：（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點，PF₁⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓E上兩個動點，（0＜λ＜4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓E的離心率；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PAB面積取得最大值時，求λ的值．

Answer 1

（1）解：∵PF₁⊥x軸，∴F₁（-1，0），c=1，F(xiàn)₂（1，0），
∴|PF₂|=，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2，∴b²=3，
∴橢圓E的方程為：；…（3分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由 得（x₁+1，y₁-）+（x₂+1，y₂-）=λ（1，-），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=（2-λ）…①…（5分）
又，，
兩式相減得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…．．②
以①式代入可得AB的斜率k===e；…（8分）
（3）解：設(shè)直線AB的方程為y=x+t，與3x²+4y²=12聯(lián)立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0，△=3（4-t²），
|AB|=，
點P到直線AB的距離為d=，
△PAB的面積為S=|AB|×d=，…（10分）
設(shè)f（t）=S²=（t⁴-4t³+16t-16）（-2＜t＜2），
f′（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f′（t）=0及-2＜t＜2得t=-1．
當(dāng)t∈（-2，-1）時，f′（t）＞0，當(dāng)t∈（-1，2）時，f′（t）＜0，f（t）=-1時取得最大值，
所以S的最大值為．
此時x₁+x₂=-t=1=λ-2，λ=3．…（12分）
分析：（1）求出|PF₁|、|PF₂|，利用橢圓的定義，即可求得橢圓E的方程；
（2）利用確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，點的坐標(biāo)代入方程，利用點差法，即可證得結(jié)論；
（3）設(shè)直線AB的方程與3x²+4y²=12聯(lián)立消去y并整理，求出|AB|、點P到直線AB的距離，從而可得△PAB的面積利用導(dǎo)數(shù)法求最大值，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，考查點差法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，確定三角形的面積是關(guān)鍵．