【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，常數(shù)．

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)；

（2）函數(shù)的導數(shù)，是否存在無數(shù)個，使得為函數(shù)的極大值點？說明理由．

【答案】（1）1（2）存在

【解析】【試題分析】（1）對函數(shù)求導后得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用二分法判斷函數(shù)在給定區(qū)間上只有一個零點.（2）原命題等價于，存在無數(shù)個，使得成立，求得的表達式，構造為函數(shù)，利用導數(shù)證得存在負值即可.

【試題解析】

（1），當時， 單調(diào)遞減；當時， 單調(diào)遞增；

因為，所以存在，使，

且當時， ，當時， ．

故函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，即．

（2）（法一）當時， ．

因為當時， ；當， ．

由（1）知，當時， ；當時， ．

下證：當時， ，即證．

，

記…

，所以在單調(diào)遞增，

由，

所以存在唯一零點，使得，且時， 單調(diào)遞減，

時， 單調(diào)遞增．

所以當時， ．……

由，得當時， ．

故．

當時， 單調(diào)遞增；

當時， 單調(diào)遞減．

所以存在，使得為的極大值點．

（2）（法二）因為當時， ；當， ．

由（1）知，當時， ；當時， ．

所以存在無數(shù)個，使得為函數(shù)的極大值點，即存在無數(shù)個，使得成立， ①…由（1），問題①等價于，存在無數(shù)個，使得成立，

因為，

記…

因為，當時， ，所以在單調(diào)遞增，因為，

所以存在唯一零點，使得，且當時， 單調(diào)遞減；當時， 單調(diào)遞增；

所以，當時， ， ②…

由，可得，代入②式可得，

當時， ，

所以，必存在，使得，即對任意有解，

所以對任意，函數(shù)存在極大值點為．…

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以該直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）設點，直線與曲線相交于兩點，且，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有甲、乙兩個桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在范圍內(nèi)（單位：毫米，以下同），按規(guī)定直徑在內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機抽取500個，測量這些桔柚的直徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答是否有以上的把握認為“桔柚直徑與所在基地有關”？

（2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數(shù) (同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；

（3）記甲基地直徑在范圍內(nèi)的五個桔柚分別為，現(xiàn)從中任取二個，求含桔柚的概率.

附： ， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，且點到橢圓上任意一點的最大距離為3，橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)是否存在斜率為的直線與以線段為直徑的圓相交于、兩點，與橢圓相交于、，且？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1， ，連接CE并延長交AD于F．

（Ⅰ）求證：AD⊥CG；

（Ⅱ）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為拋物線的焦點，點為其上一點，與關于軸對稱，直線與拋物線交于異于的兩點，，.

（1）求拋物線的標準方程和點的坐標；

（2）判斷是否存在這樣的直線，使得的面積最小.若存在，求出直線的方程和面積的最小值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量分別在，，，，，（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.

(1)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為，的芒果中隨機抽取個，再從這個中隨機抽取個，記隨機變量表示質(zhì)量在內(nèi)的芒果個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.

(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率，某經(jīng)銷商來收購芒果，該種植園中還未摘下的芒果大約還有個，經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案：

A：所以芒果以元/千克收購；

B：對質(zhì)量低于克的芒果以元/個收購，高于或等于克的以元/個收購.

通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2017年6月深圳地鐵總公司對深圳地鐵1號線30個站的工作人員的服務態(tài)度進行了滿意度調(diào)查，其中世界之窗、白石洲、高新園、深大、桃園、大新6個站的得分情況如下：

地鐵站

世界之窗

白石州

高新園

深大

桃園

大新

滿意度得分

70

76

72

70

72

x

已知6個站的平均得分為75分.

（1）求大新站的滿意度得分x，及這6個站滿意度得分的標準差；

（2）從表中前5個站中，隨機地選2個站，求恰有1個站得分在區(qū)間（68，75）中的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是：（是參數(shù)，是常數(shù)）.以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點，且，求實數(shù)的值.

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