Question

【題目】已知橢圓： 的左頂點為，右焦點為， 為原點， ， 是軸上的兩個動點，且，直線和分別與橢圓交于， 兩點．

　

（Ⅰ）求的面積的最小值；

（Ⅱ）證明： ， ， 三點共線.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）詳見解析。

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)， ，然后根據(jù)求得的值，從而得到的表達式，從而利用基本不等式求出最小值，；（Ⅱ）首先設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理得到點坐標(biāo)間的關(guān)系，從而使問題得證．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)， ，∵，可得，

，

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．

∴，

∴，

∴四邊形的面積的最小值為1．

（Ⅱ）∵， ，∴直線的方程為，

由得，

由，得，①

同理可得，

∵，∵ ②

故由①②可知： ，

代入橢圓方程可得

∵，故， 分別在軸兩側(cè)， ，

∴，∴， ， 三點共線．

點睛:解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法．