Question

P、Q是拋物線C：y=x²上兩動點，直線l₁，l₂分別是C在點P、點Q處的切線，l₁∩l₂=M，l₁⊥l₂．
（1）求證：點M的縱坐標為定值，且直線PQ經(jīng)過一定點；
（2）求△PQM面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而得出切線的方程，結合l₁⊥l₂得點M的縱坐標為定值，且直線PQ經(jīng)過一定點；
（2）令x₁+x₂=k，由（1）知點M坐標，直線PQ方程，利用點到直線距離S_△PQM的面積，最后利用基本不等式求出面積的最小值即可．

解答：解：（1）設P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），
又y'=2x
則l₁方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁²①l₂方程為y=2x₂x-x₂²②
由①②解得yM=x1x2，xM=

x1+x2

2

（3分）
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即x1x2=-

1

4

所以yM=-

1

4

，（5分）
PQ方程為y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁）
即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
即y=(x1+x2)x+

1

4

由此得直線PQ一定經(jīng)過點(0，

1

4

)（8分）
（2）令x₁+x₂=k，
則由（1）知點M坐標(

k

2

，-

1

4

)
直線PQ方程為y=kx+

1

4

，即kx-y+

1

4

=0（10分）
∴點M到直線PQ距離h=

| k2 2 + 1 4 + 1 4 |

1+k2

=

1

2

1+k2

|PQ|=

(x1-x2)2+( x 2 1 - x 2 2 )2

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(x1+x2 ) 2   ]

=

(k2+1)(1+k2)

=1+k2．（12分）
∴S△PQM=

1

4

1+k2

•(1+k2)≥

1

4

，
當k=0時“=”成立，
∴S_△PQM最小值為

1

4

．（15分）

點評：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能．