P、Q是拋物線(xiàn)C:y=x2上兩動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)l1,l2分別是C在點(diǎn)P、點(diǎn)Q處的切線(xiàn),l1∩l2=M,l1⊥l2
(1)求證:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值,且直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)一定點(diǎn);
(2)求△PQM面積的最小值.
【答案】分析:(1)設(shè)P(x1,x12),Q(x2,.x22),再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率,從而得出切線(xiàn)的方程,結(jié)合l1⊥l2得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值,且直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)一定點(diǎn);
(2)令x1+x2=k,由(1)知點(diǎn)M坐標(biāo),直線(xiàn)PQ方程,利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離S△PQM的面積,最后利用基本不等式求出面積的最小值即可.
解答:解:(1)設(shè)P(x1,x12),Q(x2,.x22),
又y'=2x
則l1方程為y-x12=2x1(x-x1
即y=2x1x-x12①l2方程為y=2x2x-x22
由①②解得(3分)
由l1⊥l2得2x12x2=-1

所以,(5分)
PQ方程為y-x12=(x1+x2)(x-x1
即y=(x1+x2)x-x1x2

由此得直線(xiàn)PQ一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(8分)
(2)令x1+x2=k,
則由(1)知點(diǎn)M坐標(biāo)
直線(xiàn)PQ方程為(10分)
∴點(diǎn)M到直線(xiàn)PQ距離=.(12分)
,
當(dāng)k=0時(shí)“=”成立,
∴S△PQM最小值為.(15分)
點(diǎn)評(píng):直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高,起到了拉開(kāi)考生“檔次”,有利于選拔的功能.
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(1)求證:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值,且直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)一定點(diǎn);
(2)求△PQM面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知P、Q是拋物線(xiàn)C:y=x2上兩動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)l1、l2分別是拋物線(xiàn)C在點(diǎn)P、Q處的切線(xiàn),且l1⊥l2,l1∩l2=M.
(1)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo);
(2)直線(xiàn)PQ是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)?試證之;
(3)求△PQM的面積的最小值.

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(1)求證:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值,且直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)一定點(diǎn);
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