Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（1-x）≤2；
（Ⅱ）若a＜0．求證：f（ax）-af（x）≥f（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）依題意，f（x-1）+f（1-x）≤2?|x-2|+|x|≤2，通過對(duì)x≤0與0＜x＜2及x≥2的討論分析，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得原不等式的解集；
（Ⅱ）利用絕對(duì)值不等式，a＜0時(shí)，可得f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|≥|ax-1-ax+a|=|a-1|=f（a），從而可證結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x-1）+f（1-x）=|x-2|+|x|．
因此只須解不等式|x-2|+|x|≤2．
當(dāng)x≤0時(shí)，原不式等價(jià)于2-x-x≤2，即x≥0，所以x=0．
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，原不式等價(jià)于2≤2成立，所以0＜x＜2．
當(dāng)x≥2時(shí)，原不式等價(jià)于x-2+x≤2，即x≤2，所以x=2．
綜上，原不等式的解集為{x|0≤x≤2}．…（5分）
（Ⅱ）∵f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|，
又a＜0時(shí)，|ax-1|-a|x-1|=|ax-1|+|-ax+a|≥|ax-1-ax+a|=|a-1|=f（a），
∴a＜0時(shí)，f（ax）-af（x）≥f（x）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，通過對(duì)x≤0與0＜x＜2及x≥2的討論分析，去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．