【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)當(dāng)時(shí),求證:.

【答案】1)見解析;(2)見解析.

【解析】

1)求得,然后分、、三種情況討論,分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化,可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;

2)將所證不等式變形為,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,由可證得結(jié)論.

1)由題意,得.

①若,令,得;令,得.

故函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

②若,令,得;令,得.

故函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

③若,則是常值函數(shù),不存在單調(diào)性.

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為

當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;

當(dāng)時(shí),函數(shù)不存在單調(diào)性;

2)當(dāng)時(shí),,則即為.

不等式兩邊同時(shí)除以,得,得.

記函數(shù),則.

設(shè).

當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí),.

所以,所以函數(shù)上單調(diào)遞增.

所以,即.

得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近年來,國(guó)資委.黨委高度重視扶貧開發(fā)工作,堅(jiān)決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重大決策部署,在各個(gè)貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作,取得了積極成效,某貧困縣為了響應(yīng)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召,特地承包了一塊土地,已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如下表所示:

土地使用面積(單位:畝)

1

2

3

4

5

管理時(shí)間(單位:月)

8

10

13

25

24

并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿,得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

愿意參與管理

不愿意參與管理

男性村民

150

50

女性村民

50

1)求出相關(guān)系數(shù)的大小,并判斷管理時(shí)間與土地使用面積是否線性相關(guān)?

2)是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性?

3)若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計(jì)貧困縣的情況,則從該貧困縣中任取3人,記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

參考公式:

其中。臨界值表:

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

參考數(shù)據(jù):

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】獨(dú)立性檢驗(yàn)中,假設(shè):運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系.在上述假設(shè)成立的情況下,計(jì)算得的觀測(cè)值.下列結(jié)論正確的是( )

附:

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)

B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)無關(guān)

C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)

D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)無關(guān)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為

(1)設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)到直線的距離的最大值為,求的值;

(2)若曲線上任意一點(diǎn)都滿足,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)設(shè),記,當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根, ,證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近期中央電視臺(tái)播出的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火遍全國(guó),下面是組委會(huì)在選拔賽時(shí)隨機(jī)抽取的100名選手的成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如下所示.

題號(hào)

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

0.100

第2組

第3組

20

第4組

20

0.200

第5組

10

0.100

第6組

100

1.00

(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成如下的頻率分布直方圖;

(2)組委會(huì)決定在5名(其中第3組2名,第4組2名,第5組1名)選手中隨機(jī)抽取2名選接受考官進(jìn)行面試,求第4組至少有1名選手被考官面試的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)如果且關(guān)于的方程有兩解 ),證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是

A. 的一個(gè)周期為 B.

C. 圖象的一條對(duì)稱軸 D. 是偶函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對(duì)方格表中的小方格進(jìn)行染色.使得每個(gè)被染色的小方格滿足:與其相鄰的小方格中最多只有一個(gè)被染色,其中兩個(gè)小方格相鄰是指它們有一條公共邊.問:最多可以給多少個(gè)小方格染色?

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