【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)對任意的,恒成立,請求出的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)分、兩種情況討論的符號后可得的單調(diào)性.
(2)原不等式等價于,令,其導數(shù)為,求得,虛設其在上的零點后,可證明恒成立,從而得到在上為增函數(shù),求得的值域后可得的取值范圍.
解:(1),
若,則,所以函數(shù)在上遞增;
若,方程的判別式為,
所以方程有兩根分別為,,
所以當時,;
當時,,
所以函數(shù)在上遞減;在上遞增.
(2)不等式,對任意的恒成立,
即對任意的恒成立.
令,則,
令,則,
易知在上單調(diào)遞增,
因為,,且的圖象在上不間斷,
所以存在唯一的,使得,即,則.
當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.
則在處取得最小值,
且最小值為,
所以,即在上單調(diào)遞增,所以.
所以.
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【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機器人攔截挑戰(zhàn)賽,在處按方向釋放機器人甲,同時在處按某方向釋放機器人乙,設機器人乙在處成功攔截機器人甲.若點在矩形區(qū)域內(nèi)(包含邊界),則挑戰(zhàn)成功,否則挑戰(zhàn)失。阎米,為中點,機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍,比賽中兩機器人均按勻速直線運動方式行進,記與的夾角為.
(1)若,足夠長,則如何設置機器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功?(結果精確到);
(2)如何設計矩形區(qū)域的寬的長度,才能確保無論的值為多少,總可以通過設置機器人乙的釋放角度使機器人乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機器人甲?
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【題目】某教師為了分析所任教班級某次考試的成績,將全班同學的成績作成統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[50,60) | 3 | 0.06 |
[60,70) | m | 0.10 |
[70,80) | 13 | n |
[80,90) | p | q |
[90,100] | 9 | 0.18 |
總計 | t | 1 |
(1)求表中t,q及圖中a的值;
(2)該教師從這次考試成績低于70分的學生中隨機抽取3人進行談話,設X表示所抽取學生中成績低于60分的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】據(jù)報道,全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點,一時間“英語考試該如何改革”引起廣泛關注,為了解某地區(qū)學生和包括老師、家長在內(nèi)的社會人士對高考英語改革的看法,某媒體在該地區(qū)選擇了3600人進行調(diào)查,就“是否取消英語聽力”問題進行了問卷調(diào)查統(tǒng)計,結果如下表:
態(tài)度 調(diào)查人群 | 應該取消 | 應該保留 | 無所謂 |
在校學生 | 2100人 | 120人 | 人 |
社會人士 | 600人 | 人 | 人 |
(1)已知在全體樣本中隨機抽取人,抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為,現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取人進行問卷訪談,問應在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人?
(2)在持“應該保留”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取人,再平均分成兩組進行深入交流,求第一組中在校學生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】我們把定義在上,且滿足(其中常數(shù)、滿足,,)的函數(shù)叫做似周期函數(shù).
(1)若某個似周期函數(shù)滿足且圖象關于直線對稱,求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)當,時,某個似周期函數(shù)在時的解析式為,求函數(shù),,的解析式;
(3)對于(2)中的函數(shù),若對任意,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】對于數(shù)列,若對任意的,也是數(shù)列中的項,則稱數(shù)列為“數(shù)列”,已知數(shù)列滿足:對任意的,均有,其中表示數(shù)列的前項和.
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列為“數(shù)列”,,且,求的所有可能值;
(3)若對任意的,也是數(shù)列中的項,求證:數(shù)列為“數(shù)列”.
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【題目】某烘焙店加工一個成本為60元的蛋糕,然后以每個120元的價格出售,如果當天賣不完,剩下的這種蛋糕作餐廚垃圾處理.
(1)若烘焙店一天加工16個這種蛋糕,,求當天的利潤(單位:元)關于當天需求量(單位:個,)的函數(shù)解析式;
(2)烘焙店記錄了100天這種蛋糕的日需求量(單位:個),整理得下表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①若烘焙店一天加工16個這種蛋糕,表示當天的利潤(單位:元),求的分布列與數(shù)學期望及方差;
②若烘焙店一天加工16個或17個這種蛋糕,僅從獲得利潤大的角度考慮,你認為應加工16個還是17個?請說明理由.
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