Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（l）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若對任意x∈(0，+∞)，f(x)≥

-x2+mx-3

2

恒成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（l）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和極值之間的關系即可求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）利用不等式恒成立，進行參數(shù)分離，利用導數(shù)即可求出實數(shù)m的最大值．

解答： 解 （1）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
∴f'（x）＞0有 x＞

1

e

，∴函數(shù)f（x）在(

1

e

，+∞)上遞增，f'（x）＜0有 0＜x＜

1

e

，
∴函數(shù)f（x）在(0，

1

e

)上遞減，
∴f（x）在x=

1

e

處取得極小值，極小值為f(

1

e

)=-

1

e

．
（2）∵2f（x）≥-x²+mx-3
即mx≤2x•lnx+x²+3，又x＞0，
∴m≤

2x•lnx+x2+3

x

，
令h(x)=

2x•lnx+x2+3

x

，
h′(x)=

(2x•lnx+x2+3)′•x-(2x•lnx+x2+3)•x′

x2

=

2x+x2-3

x2

令h'（x）=0，解得x=1或x=-3（舍）
當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，函數(shù)h（x）在（0，1）上遞減
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4．
∴a≤4，
即m的最大值為4．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性和極值的求解，利用函數(shù)單調性，極值和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決不等式恒成立問題的基本方法．