【題目】在直角坐標系中,已知拋物線上一點到焦點的距離為6,點為其準線上的任意一點,過點作拋物線的兩條切線,切點分別為.
(1)求拋物線的方程;
(2)當點在軸上時,證明:為等腰直角三角形.
(3)證明:為直角三角形.
【答案】(1)(2)見解析(3)見解析
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義可知,到焦點的距離等于到準線的距離,得到求出參數(shù)即可求出拋物線的解析式;
(2)由(1)可得,由題意知切線的斜率存在且不為0,設為,所以切線方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去得到關于的一元二次方程,根據(jù)求出的值,即可求出、的坐標,即可得證;
(3)設點,由題意知切線的斜率存在且不為0,設為,所以切線方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去得到關于的一元二次方程,根據(jù)求出的值,即可得證;
解:(1)根據(jù)題意可得,得,
所以拋物線的方程為.
(2)拋物線:的準線方程為,
所以點,由題意知切線的斜率存在且不為0,設為,
所以切線方程為.
由方程組,得,
所以,
解得,解得.
不妨取,,易得為等腰直角三角形.
(3)設點,由題意知切線的斜率存在且不為0,設為,
所以切線方程為,
由方程組,
得,
此時
,
所以,即.
所以為直角三角形.
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【題目】已知拋物線,其焦點為,直線過點與交于、兩點,當的斜率為時,.
(1)求的值;
(2)在軸上是否存在一點滿足(點為坐標原點)?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動,且,若動點滿足.
(1)求出動點的軌跡的標準方程;
(2)設動直線與曲線有且僅有一個公共點,與圓相交于兩點(兩點均不在坐標軸上),求直線的斜率之積.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:且
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【題目】在直角坐標系中,已知橢圓,若圓的一條切線與橢圓有兩個交點,且.
(1)求圓的方程;
(2)已知橢圓的上頂點為,點在圓上,直線與橢圓相交于另一點,且,求直線的方程.
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【題目】已知橢圓:的離心率,左、右焦點分別是、,且橢圓上一動點到的最遠距離為,過的直線與橢圓交于,兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)當以為直角時,求直線的方程;
(3)直線的斜率存在且不為0時,試問軸上是否存在一點使得,若存在,求出點坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數(shù).
(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點;
(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.
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【題目】已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是: (是參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m的值.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),若以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)若是曲線上的任意一點,是曲線上的任意一點,求線段的最小值.
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