【題目】如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,

(1)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′.求證:A′D⊥EF
(2)當(dāng)BE=BF= BC時(shí),求三棱錐A′﹣EFD的體積.

【答案】
(1)解:由正方形ABCD知,∠DCF=∠DAE=90°,

∴A'D⊥A'F,A'D⊥A'E,

∵A'E∩A'F=A',A'E、A'F平面A'EF.

∴A'D⊥平面A'EF.

又∵EF平面A'EF,

∴A'D⊥EF.


(2)解:由四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形

故折疊后A′D=2,A′E=A′F= ,EF=

則cos∠EA′F= =

則sin∠EA′F=

故△EA′F的面積SEAF= A′EA′Fsin∠EA′F=

由(1)中A′D⊥平面A′EF

可得三棱錐A'﹣EFD的體積V= × ×2=


【解析】(1)由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°,得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E,所以A'D⊥平面A'EF.結(jié)合EF平面A'EF,得A'D⊥EF;(2)由勾股定理的逆定理,得△A'EF是以EF為斜邊的直角三角形,而A'D是三棱錐D﹣A'EF的高線,可以算出三棱錐D﹣A'EF的體積,即為三棱錐A'﹣DEF的體積.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行才能正確解答此題.

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