Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（x﹣1），g（x）=loga（3﹣x）（a＞0且a≠1）
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的定義域；
（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：要使函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）=loga（x﹣1）﹣loga（3﹣x）有意義，

需 ，解得 1＜x＜3，故函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的定義域為（1，3）

（2）解：∵不等式f（x）≥g（x），即 loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），

∴當a＞1時，有 ，解得 2≤x＜3．

當1＞a＞0時，有 ，解得 1＜x≤2．

綜上可得，當不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，3）

【解析】（1）由題意得 ，解得x的取值范圍，即可得到函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的定義域．（2）不等式即 loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），分a＞1和1＞a＞0兩種情況，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求出
不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解對數(shù)函數(shù)的定義域的相關知識，掌握對數(shù)函數(shù)的定義域范圍:（0，+∞），以及對對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點的理解，了解過定點（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數(shù);0>a>1時在（0，+∞）上是減函數(shù)．