已知函數(shù)f(x)=log2
1+x
1-x

(Ⅰ)求證:f(x1)+f(x2)=f(
x1+x2
1+x1x2
)

(Ⅱ)若f(
a+b
1+ab
)=1
f(-b)=
1
2
,求f(a)的值.
分析:(I)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)左邊和右邊即可證明;
(II)利用函數(shù)f(x)的奇偶性和(I)的結(jié)論即可得出.
解答:(I)證明:左邊=f(x1)+f(x2)=log2
1+x1
1-x1
+log2
1+x2
1-x2
=log2(
1+x1
1-x1
1+x2
1-x2
)
=log2
1+x1+x2+x1x2
1-x1-x2+x1x2

右邊=log2
1+
x1+x2
1+x1x2
1-
x1+x2
1+x1x2
=log2
1+x1+x2+x1x2
1+x1x2-x1-x2

∴左邊=右邊.
(II)∵f(-b)=log2
1-b
1+b
=-log2
1+b
1-b
=
1
2
,∴f(b)=-
1
2

利用(I)可知:f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)
,
-
1
2
+f(a)=1,解得f(a)=
3
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和函數(shù)f(x)的奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過(guò)兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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