【題目】已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),其前項(xiàng)和為, .
(1)如果,且對(duì)于一切正整數(shù),均有,求;
(2)如果對(duì)于一切正整數(shù),均有,求;
(3)如果對(duì)于一切正整數(shù),均有,證明: 能被8整除.
【答案】(1) ;(2) . (3) 見解析.
【解析】試題分析:(1)由,得,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到通項(xiàng);(2)推導(dǎo)出an+1﹣an﹣1=1.a1=4,由anan+1=Sn,得a2=1,a3=5,a4=3,…,由此根據(jù)n為偶數(shù)和n為奇數(shù),能求出Sn的值;(3)推導(dǎo)出,分別求出前4項(xiàng)的值,利用數(shù)學(xué)歸納法能證明a3n﹣1能被8整除.
解析:
(1) 數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),由,得,
數(shù)列是等比數(shù)列,公比,從而
(2) 由得,兩式相減得,
此數(shù)列各均為正數(shù), , 數(shù)列和數(shù)列均是公差為1的等差數(shù)列.由,得.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
.
(3) 由得,兩式相減得.
,得, .
以下證明:對(duì)于, 被8除余數(shù)為4, 被8整除, 被8除余數(shù)為4.
當(dāng)時(shí), , , ,命題正確.
假設(shè)時(shí),命題正確,即, , 其中, .
那么, , 為正整數(shù), 被8除余數(shù)為4.
.
為正整數(shù), 能被8整除.
. 為正整數(shù), 被8除余數(shù)為4.
即時(shí),命題也正確.
從而證得,對(duì)于一切正整數(shù), 能被8整除.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線與圓O:相切.
(1)直線l過點(diǎn)(2,1)且截圓O所得的弦長(zhǎng)為,求直線l的方程;
(2)已知直線y=3與圓O交于A,B兩點(diǎn),P是圓上異于A,B的任意一點(diǎn),且直線AP,BP與y軸相交于M,N點(diǎn).判斷點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽,為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為)作為樣本(樣本容量)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照、、、、的分組作出頻率分布直方圖,已知得分在、的頻數(shù)分別為、.
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的、的值;
(2)估計(jì)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)高二年級(jí)組織外出參加學(xué)業(yè)水平考試,出行方式為:乘坐學(xué)校定制公交或自行打車前往,大數(shù)據(jù)分析顯示,當(dāng)的學(xué)生選擇自行打車,自行打車的平均時(shí)間為 (單位:分鐘) ,而乘坐定制公交的平均時(shí)間不受影響,恒為40分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:
(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),乘坐定制公交的平均時(shí)間少于自行打車的平均時(shí)間?
(2)求該校學(xué)生參加考試平均時(shí)間的表達(dá)式:討論的單調(diào)性,并說明其實(shí)際意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某動(dòng)物園要為剛?cè)雸@的小動(dòng)物建造一間兩面靠墻的三角形露天活動(dòng)室,地面形狀如圖所示,已知已有兩面墻的夾角為,墻的長(zhǎng)度為米,(已有兩面墻的可利用長(zhǎng)度足夠大),記.
(1)若,求的周長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.01米);
(2)為了使小動(dòng)物能健康成長(zhǎng),要求所建的三角形露天活動(dòng)室面積,的面積盡可能大,當(dāng)為何值時(shí),該活動(dòng)室面積最大?并求出最大面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六組[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)求分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率;
(2)若在同一組數(shù)據(jù)中,將該組區(qū)間的中點(diǎn)值(如:組區(qū)間[100,110)的中點(diǎn)值為=105)作為這組數(shù)據(jù)的平均分,據(jù)此,估計(jì)本次考試的平均分;
(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2人,求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線與曲線相切于點(diǎn),與直線相交于點(diǎn).
證明:以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,
(I)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(II)求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M:,直線l:,下列四個(gè)選項(xiàng),其中正確的是( )
A.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M有公共點(diǎn)
B.存在實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M相離
C.對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)θ,使得直線l與圓M相切
D.對(duì)任意實(shí)數(shù)θ,必存在實(shí)數(shù)k,使得直線l與圓M相切
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