Question

已知圓：
（1）平面上有兩點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)；
（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線平分圓的周長(zhǎng)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，
并且，求的最小值．
(3) 若是軸上的動(dòng)點(diǎn)，分別切圓于兩點(diǎn)．
試問(wèn)：直線是否恒過(guò)定點(diǎn)？如是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）4；（2）；（3）直線恒過(guò)定點(diǎn).

第一問(wèn)主要是利用兩點(diǎn)坐標(biāo)，求解出直線方程AB，然后聯(lián)立方程組，得到弦長(zhǎng)。
第二問(wèn)中，由于直線平分圓的周長(zhǎng)，說(shuō)明了直線過(guò)圓心，則可以得到直線l的方程，然后結(jié)合均值不等式來(lái)求解最值
第三問(wèn)中，要判定直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，關(guān)鍵是求解直線MN的方程即可。
解：（1）因?yàn)橹本�經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，從而直線的方程為
進(jìn)而令中的得或
故此直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.               ……  3分
(2) 因?yàn)閳A的圓心為, 又直線過(guò)點(diǎn)，
所以直線的方程是:
而在直線上, 所以有:    也即有
 ， 進(jìn)而有： 
故當(dāng)，即時(shí)，又,
從而時(shí)取得最小值
(3) 由知在以為直徑的圓上。
設(shè)，則以為直徑的圓的方程為：.
即 
與圓：聯(lián)立，消去得
。
故無(wú)論取何值時(shí)，直線恒過(guò)直線的交點(diǎn)，
即直線恒過(guò)定點(diǎn)……………12分