Question

已知函數(shù)，函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；
（2）設(shè)函數(shù)h(x)=(1－x)f(x)+16，試根據(jù)m的取值分析函數(shù)h(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

(1) x=4時(shí)，取等號(hào)，故函數(shù)f(x)的最小值為0.
（2）當(dāng)或時(shí)，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn).

(1) 方法一： ∵ x>1 , ，
當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，取等號(hào)，故函數(shù)f(x)的最小值為0；
方法二：∵ x>1，
當(dāng)且僅當(dāng)即x=4時(shí)，取等號(hào)，故函數(shù)f(x)的最小值為0.
方法三：求導(dǎo)（略） ……………………………………4分
（2）由于h(x)=(1－x)f(x)+16=
設(shè) F(x)=g(x)－h(huán)(x)=   (且)，則
，……………………………6分
令得x=3或x=1（舍）又∵， ，，F(xiàn)（3）＝6ln3－15+m
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)及函數(shù)的單調(diào)情況、取極值的情況作出的草圖如下：………………11分
由此可得：
當(dāng)或時(shí)，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn).