Question

已知兩定點(diǎn)F₁（，0），F(xiàn)₂（，0）滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程是曲線C，直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且．
（1）求曲線C的方程；
（2）若曲線C上存在一點(diǎn)D，使，求m的值及點(diǎn)D到直線AB的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知兩定點(diǎn)F₁（，0），F(xiàn)₂（，0）滿足條件，可知軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的左支，進(jìn)而可求曲線C的方程；
（2）將直線方程代入雙曲線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求AB的長(zhǎng)，從而可得直線的斜率，進(jìn)而利用向量求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用D滿足曲線C的方程，即可求m的值及點(diǎn)D到直線AB的距離．
解答：解：（1）由已知兩定點(diǎn)F₁（，0），F(xiàn)₂（，0）滿足條件，可知軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的左支．
∵2a=2，∴a=1，
∵，∴b²=c²=a²=1
∴曲線C的方程為x²-y²=1（x≤-1）
（2）由得（1-k²）x²+4kx-5=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則，解之得
∴，解之得k²=4
又∵
∴k=-2
∴
由得，即
∵D在x²-y²=1（x≤-1）上，
∴，∴
∴D（）    
∵直線AB：2x+y+2=0
∴點(diǎn)D到直線AB的距離為
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查雙曲線的軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式，綜合性較強(qiáng)．